Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μ.Δ.Ε. 1ου βαθμού

Λύνουμε αρχικά τη Μ.Δ.Ε. με το DSolve, ώστε να έχουμε ένα μέτρο αξιολόγησης των αποτελεσμάτων μας.

Clear["Global`*"]
PDE =  -2 y D[u[x, y], x] + D[u[x, y], y] + 2 y u[x, y] == 2 y
bound = u[1, y] == 1 + Exp[-1 - 2 y^2]
DSolve[{PDE, bound}, u[x, y], {x, y}] // FullSimplify
\[2 y u(x,y)+u^{(0,1)}(x,y)-2 y u^{(1,0)}(x,y)=2 y\]
\[u(1,y)=1+E^{-1-2 (y^{2})}\]
\[{{u(x,y)\to 1+E^{-x-2 (y^{2})}}}\]

Πάμε και με τις δικές μας δυνάμεις.

Αρχικά συστήνουμε τις εξισώσεις των χαρακτηριστικών.

eqX = D[X[s, r], s] == -2 Y[s, r]
eqY = D[Y[s, r], s] == 1
eqZ = D[Z[s, r], s] == 2 Y[s, r] - 2 Y[s, r]*Z[s, r]
boundX = X[0, r] == 1
boundY = Y[0, r] == r
boundZ = Z[0, r] == 1 + Exp[-1 - 2 r^2]
\[X^{(1,0)}(s,r)=-2 Y[s,r]\]
\[Y^{(1,0)}(s,r)=1\]
\[Z^{(1,0)}(s,r)=2 Y[s,r]-2 Y[s,r] Z[s,r]\]
\[X[0,r]=1\]
\[Y[0,r]=r\]
\[Z[0,r]=1+E^{-1-2 (r^{2})}\]

Λύνουμε το προκύπτον σύστημα

DSolve[{eqX, eqY, eqZ, boundX, boundY, boundZ}, {X[s, r], Y[s, r],   Z[s, r]}, s]
{X[s, r], Y[s, r], Z[s, r]} = {X[s, r], Y[s, r], Z[s, r]} /.  DSolve[{eqX, eqY, eqZ, boundX, boundY, boundZ}, {X[s, r], Y[s, r], 
 Z[s, r]}, s][[1]]
\[{{Y[s,r]\to r+s,X[s,r]\to 1-2 r s-s^{2},Z[s,r]\to (E^{-1-2 (r^{2})-2 r s-s^{2}}) (1+E^{1+2 (r^{2})+2 r s+s^{2}})}}\]
\[{1-2 r s-s^{2},r+s,(E^{-1-2 (r^{2})-2 r s-s^{2}}) (1+E^{1+2 (r^{2})+2 r s+s^{2}})}\]

Ορίζουμε:

X[s_, r_] := Evaluate[X[s, r]]
Y[s_, r_] := Evaluate[Z[s, r]]
Z[s_, r_] := Evaluate[Z[s, r]]

Σχεδιάζουμε την παραμετρική μας καμπύλη.

ParametricPlot3D[{X[s, r], Y[s, r], Z[s, r]}, {r, -1, 1}, {s, -2, 2}]
3D Plot

Εκφράζουμε τα s και r συναρτήσει των x και y.

eqχ = χ == X[s, r]
eqψ = ψ == Y[s, r]
eqζ = ζ == Z[s, r]
{s0, r0} = {s, r} /. Solve[{eqχ, eqψ}, {s, r}][[1]]
\[\chi =1-2 r s-s^{2}\]
\[\psi =r+s\]
\[\zeta =(E^{-1-2 (r^{2})-2 r s-s^{2}}) (1+E^{1+2 (r^{2})+2 r s+s^{2}})\]
\[{\psi -\sqrt{-1+\chi +{\psi }^{2}},\sqrt{-1+\chi +{\psi }^{2}}}\]

Προσδιορίζουμε τη λύση μας.

Z[s0, r0] // Simplify
\(1+E^{-\chi -2 ({\psi }^{2})}\)